Auf dieser Seite finden Sie den Beweis des Betz'schen Gesetzes. Bevor Sie sich diese Seite zu Gemüte führen, sollten Sie die Kapitel über die Ablenkung des Windes durch Windkraftanlagen sowie über das Betz'sche Gesetz im Streifzug gelesen haben. Wenn Sie der Argumentation nicht im Detail folgen wollen, überfliegen sie einfach den Rest dieser Seite, welche die Herleitung nach Betz aus seinem eigenen Buch 'Wind-Energie' aus dem Jahre 1926 zeigt.

Beginnen wir mit der vernünftigen Annahme, daß die mittlere Geschwindigkeit des Windes durch die Rotorfläche gleich dem Durchschnitt der ungestörten Windgeschwindigkeit vor der Windkraftanlage v 1 und der Geschwindigkeit nach dem Passieren des Rotors v 2 ist, also (v 1 +v 2 )/2. (Betz gibt hierzu einen Beweis an).

Die Luftmasse, die pro Sekunde durch den Rotor strömt, beträgt

m =   F (v 1 +v 2 )/2

wobei m die Masse pro Sekunde (den Massenstrom) bezeichnet, die Luftdichte, F die vom Rotor überstrichene Fläche und [(v 1 +v 2 )/2] die durchschnittliche Windgeschwindigkeit durch die Rotorfläche. Die vom Rotor aus dem Wind entnommene Leistung ist gleich der Masse mal der Differenz der Geschwindigkeitsquadrate (entsprechend dem zweiten Newton'schen Gesetz):

P = (1/2) m (v 1 2  - v 2 2 )

Wenn wir nun m in die erste Gleichung einsetzen, erhalten wir den folgenden Ausdruck für die dem Wind entzogene Leistung:

P = ( /4) (v 1 2  - v 2 2 ) (v 1 +v 2 ) F

Vergleichen wir nun unser Ergebnis mit der gesamten Leistung des Windes, der ungestört durch die gleich große Fläche F strömt. Diese Leistung bezeichnen wir mit P 0 :

P 0  = ( /2) v 1 3  F

Das Verhältnis zwischen der dem Wind entnommenen Leistung und der Leistung des ungestörten Windes errechnet sich damit zu:

(P/P 0 ) = (1/2) (1 - (v 2  / v 1 ) 2 ) (1 + (v 2  / v 1 ))

Wir können nun P/P 0 als eine Funktion von v 2 /v 1 zeichnen: Von der obigen Grafik sehen wir, daß die Funktion für v 2 /v 1  = 1/3 ihr Maximum erreicht, und daß dieses Maximum der dem Wind entziehbaren Leistung 0,59 oder 16/27 der Gesamtleistung des Windes beträgt.

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